Energia Potenziale di un Solido Cristallino Ionico

Calcolo Energia Potenziale di un Solido Cristallino Ionico  

Abstract 

Si vuole calcolare l'Energia Potenziale di un semplice solido cristallino ionico. 

FreeNotes - Chemical Energy of a Ionic Crystalline Solid arranged in a Linear Chain by Nicola Bernini

Italian Version

Struttura 
Consideriamo una Solido Cristallino come una catena di ioni positivi e negativi alternati, in quantità dell'ordine di un $ N_{A} \sim 10^{23} $ Numero di Avogadro. 

Forze in gioco 
Nel modello che si sta considerando, assumiamo che l'unica forza in gioco sia la Forza di Coulomb agente tra 2 cariche ovvero 
$$ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}^2} $$

con $ q_{i}, q_{j} $ valori delle cariche elettriche considerate e $ r_{i,j} $ distanza tra di esse. 

Osservazione 
L'assunzione in questione è ragionevole dato che si tratta della forza dominante in questo contesto. 

Osservazione 
Nella formulazione fornita osserviamo che $ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) > 0 $ quando $ q_{i}, q_{j} $ hanno lo stesso segno e quindi in quel caso si tratterà di una forza repulsiva mentre $ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) < 0 $ mentre quando $ q_{i}, q_{j} $ hanno segno opposto e si tratterà quindi di una forza attrattiva. 

Poniamo lo Zero del Potenziale nella situazione in cui ogni ione sia sufficientemente lontano dagli altri da potersi considerare non interagente.

Allontanare gli ioni più di questa distanza limite non modifica il grado di (non) interazione tra di essi, per cui poniamo in questa situazione lo Zero dell’Energia Potenziale.

Avvicinando gli ioni al di sotto di questa distanza limite, l’interazione coulombiana non sarà più trascurabile ed il Sistema evolverà verso uno stato più stabile: dato che sarà necessario Spendere Energia per riportare il Sistema nello Stato Iniziale di non interazione, la Energia Potenziale sta diminuendo e diventerà quindi negativa.

Il calo di Energia Potenziale sarà pari al Lavoro svolto dalla Forza di Coulomb che agisce sui vari ioni mentre si avvicinano.

La Forza di Coulomb è pari a 

$$ F = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}^2} $$ 

per cui l'Energia tra una qualsiasi coppia di ioni è pari a 

$$ E = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}} $$ 

Nel caso in cui le 2 cariche abbiano lo stesso segno, la Forza di Coulomb sarà repulsiva e quindi il contributo all'Energia Potenziale sarà positivo. 

Nel caso in cui le 2 cariche abbiano segno opposto, la Forza di Coulomb sarà attrattiva e quindi il contributo all'Energia Potenziale sarà negativo. 

Consideriamo ora il caso di un Solido Cristallino Ionico in cui sono presenti solo 2 categorie di ioni, l'una con carica positiva e l'altra con carica negativa, uguali in valore assoluto ovvero 

$$ q_1 = -q_2 $$ 

Consideriamo ora un Modello molto semplice di Cristallo Ionico: una catena lineare alternata 

delle 2 categorie di ioni. 

In questo modello avremo quindi 2 Parametri importanti 

• $ q = |q_1| = |q_2| $ Valore Assoluto della Carica di ogni Ione 
• $ d = r_{i,i+1} $ Distanza tra Ioni Primi Vicini della Catena Lineare 

Prendo uno ione a caso nella catena, l'Energia Potenziale dello stesso, per effetto dei suoi vicini, sarà pari a 

$$ E_{k} = \left ( -\sum_{i \in \mathbb{Z}} \frac{1}{2n+1} + \sum_{i \in \mathbb{Z}, i \neq 0} \frac{1}{2n} \right ) \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_{0}d} $$ 

Ricordiamo la Serie Notevole  

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = \ln(2) $$ 

Quindi la Sommatoria dell'Energia, considerata in una sola direzione, risulta con segni sfalsati di una posizione ovvero i termini con denominatore dispari hanno segno negativo anzichè positivo per cui, considerando anche la simmetria del procedere in entrambe le direzioni, abbiamo che l'Energia Potenziale di un qualsiasi ione della catena vale 

$$ E_{k} = -2 \ln(2) \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

A questo punto sarà possibile calcolare l'Energia Potenziale relativa ad una Mole di Ioni semplicemente utilizzando il $ N_A $ Numero di Avogadro e quindi 

$$ E = -2 \ln(2) \frac{N_A q^2}{4 \pi \epsilon_{0}d} $$ 

Batteria al Piombo

Definizione 

Illustriamo di seguito brevemente il funzionamento di una Batteria al Piombo.

Funzionamento di una Batteria al Piombo
Una Batteria al Piombo si compone di 3 Elementi

• sull'Anodo si trova una Piastra Metallica di $\ce{Pb(s)}$ Piombo Metallico Poroso 
• sul Catodo si trova una Placca di $\ce{PbO2(s)}$ Ossido di Piombo
• l'Elettrolita è una Soluzione di $\ce{H2SO4}$ Acido Solforico in Acqua 

Osservazione Elettrolita Un buon Elettrolita ha la caratteristica di produrre un’elevata quantità di coppie di ioni le quali hanno la possibilità di muoversi liberamente nella Soluzione Elettrolitica. Le forze che possono muovere gli ioni presenti all'interno dell'elettrolita sono la Diffusione, dovuta principalmente alla Temperatura della Soluzione  la Convezione, dovuta a fattori quali  Scambio Termico tra diverse regioni della Soluzione  Differenti Densità tra diverse regioni della Soluzione  il Campo Elettrico  Una delle proprietà più importanti di un Elettrolita è la capacità di condurre una Corrente di Cariche non tramite uno spostamento di elettroni, ma di ioni. Esso appartiene quindi alla categoria dei Conduttori Ionici.

Batteria priva di carico
In assenza di carico, la principale reazione che avviene è quella relativa alla naturale dissociazione dell’elettrolita ovvero, nel caso dell’Acido Solforico, la prima dissociazione dell’Idrogeno
$$\ce{H2SO4 -> H+ + HSO4-}$$

Le coppie ioniche formatesi dalla dissociazione dell'acido si muovono per Diffusione nella Soluzione e giungono quindi nei pressi di Anodo e Catodo dove avvengono le reazioni di Ossidazione e Riduzione rispettivamente.

La reazione di Ossidazione trasferisce elettroni dalla Soluzione all'Anodo, dotandolo di una carica negativa netta, mentre quella di Riduzione trasferisce elettroni dal Catodo alla Soluzione, dotando il primo di una carica positiva netta.

In assenza di carico, il Sistema evolve rapidamente verso una Situazione di Equilibrio dato che

• l'accumulo di carica negativa sull'anodo tenderà ad allontanare gli ioni $\ce{HSO4-}$ riducendo il rate della reazione di ossidazione
• l'accumulo di carica positiva sul catodo tenderà ad allontanare gli ioni $\ce{H+}$ riducendo così il rate della relazione di riduzione 

Batteria sotto carico
Quando la Batteria viene connessa al carico, si da modo agli elettroni accumulati sull'Anodo di fluire verso il Catodo attraverso il circuito esterno alla batteria: si genera così una corrente elettrica netta esternamente alla batteria.

Questa corrente esterna, rompe la situazione di equilibrio interno alla batteria, 

creando quindi un flusso di ioni verso i 2 poli presso i quali avverranno le reazioni di ossidazione e riduzione che rendono disponibili gli elettroni per il flusso esterno. 

Analizziamo quindi nel dettaglio le reazioni che avvengono agli elettrodi.

Reazione Anodica 

Presso l'Anodo avviene la reazione di Ossidazione che trasferisce elettroni dalla soluzione all'elettrodo

Grazie alla presenza del carico connesso alla batteria, gli elettroni precedentemente ammassati sull'Anodo possono defluire diminuendo, di fatto, la repulsione elettrostatica che allontanava gli ioni $\ce{HSO4-}$ i quali sono necessari per la seguente reazione

$$\ce{Pb(s) + HSO4- -> PbSO4(s) + H+ + 2 e-}$$

Da notare che il $\ce{PbSO4}$ Solfato di Piombo è molto poco solubile in acqua e quindi di fatto esso resta attaccato alla superficie dell'elettrodo rendendo quindi quella regione temporaneamente indisponibile per la reazione, ma non irreversibilmente : infatti durante il processo di carica, forzando una corrente nel verso opposto, sarà possibile riottenere il $\ce{Pb(s)}$ Piombo Metallico rigenerando di fatto l'elettrodo.
Se il $\ce{PbSO4}$ fosse solubile in acqua non sarebbe possibile riportare l'elettrodo nella condizione originale.

Naturalmente il processo ricarica avviene sotto condizione che i cristalli di Solfato di Piombo non siano troppo grossi.

Reazione Catodica 

Per quanto riguarda il Catodo, l'afflusso di elettroni dal circuito esterno abbassa la repulsione elettrostatica che allontanava gli ioni carichi positivamente dall'elettrodo e riattiva la seguente reazione 

$$\ce{PbO2(s) + HSO4- + 3H+ + 2e- -> PbSO4(s) + 2 H2O}$$ 

Anche nella reazione catodica si forma quindi $\ce{PbSO4}$ Solfato di Piombo di cui abbiamo già parlato in precedenza, vale quindi lo stesso discorso per quanto riguarda il Processo di Ricarica della Batteria.

[Ing-Fin] Bonds

Definizione 

Bonds sono Obbligazioni ovvero contratti teoricamente privi di rischio (teoricamente in quanto il Rischio di Credito esiste sempre) grazie ai quali si consegue un Profitto Finanziario per il fatto che ci si priva della Risorsa Capitale per un determinato periodo di tempo. 

In generale le informazioni rilevanti di un Bond sono 

• il Valore Nominale ovvero il Capitale pagato a scadenza 
• le informazioni sui Coupons ovvero sulle Cedole staccate dal Bond, in termini di cadenza dei pagamenti (semestrale, annuale, ...) ed entità dei pagamenti espressi come percentuale rispetto al valore nominale 
• gli Istanti di Tempo in cui avvengono i vari Cashflow 

Una prima classificazione dei Bonds può avvenire in funzione della presenza o meno di Coupons 

• ZCB (Zero Coupon Bonds) indicherà una categoria di Bonds che non staccano Cedole 
• CB (Coupon Bonds) indicherà quindi una categoria di Bonds che staccano Cedole 

In merito agli ZCB, essi potranno essere suddivisi sulla base degli Istanti di Tempo in cui avvengono Cashflows ovvero 

• in ZCB Spot avremo solo 2 istanti di tempo 
• $ t_1 $ Istante di Tempo di Sottoscrizione del Contratto e versamento del Capitale da parte dell'acquirente 
• $ t_2 $ Istante di Tempo in cui il Contratto scade e ripaga con il Valore Nominale
• in ZCB Forward avremo 3 istanti di tempo 
• $ t_0 $ Istante di Tempo di Sottoscrizione del Contratto, in cui non avviene alcun versamento 
• $ t_1 $ Istante di Tempo in cui avviene il versamento per l'acquisto 
• $ t_2 $ Istante di Tempo in cui il Bond ripaga 

ZCB Spot 

Consideriamo gli ZCB Spot ed indichiamoli come $ ZCB_{S}(t_1, t_2) $ 

In base a quanto detto sopra, il loro Cashflow del Portafoglio contenente il Bond sarà dato da 

$$ \left [ \left ( t_1, -p_1 \right ), \left ( t_2, +p_2 \right ) \right ] $$

Commento 

In $ t_1 $ si ha un Cashflow di segno negativo in quanto si sta Acquistando il Bond e quindi $ p_1 $ sarà il Prezzo del Bond in quell'istante di tempo. 

In $ t_2 $ si ha un Cashflow di segno positivo in quanto il Bond sta pagando al proprietario e quindi $ p_2 $ sarà il Valore Nominale. 

Dato che $ p_2 $ è fissato sul Contratto, e considereremo per semplicità pari a $ p_2 = 1 $, e lo stesso vale per $ t_2 $ Istante di Scadenza, in ogni istante $ t_1 < t_2 $ il Mercato forma il $ p_1 $ Prezzo di Acquisto dello ZCB Spot in questione, tramite la Legge della Domanda e dell'Offerta. 

Tale Prezzo fissa un relativo Tasso a seconda della Legge di Capitalizzazione che viene utilizzata. 

Yield Rate 

Nel caso della Capitalizzazione Esponenziale avremo infatti che 

$$
\begin{align}
& p_1 \exp(r \Delta t) = p_2 \nonumber \\
& r = \frac{\ln(p_2) - \ln(p_1)}{\Delta t} \nonumber \\
& r = - \frac{\ln(p_1)}{\Delta t} \nonumber
\end{align}
$$

Questo Tasso si chiama Yield Rate

Tasso Spot in Capitalizzazione Semplice 

Nel caso della Legge di Capitalizzazione Semplice si ha che 

$$
\begin{align}
& p_2 = (1 + i \Delta t) p_1 \nonumber \\
& i = \frac{p_2 - p_1}{p_1 \Delta t } \nonumber
\end{align}
$$

Questo Tasso si chiama Tasso Spot in Capitalizzazione Semplice 

Nozioni Topologiche basilari

Raccogliamo in questo Post alcune delle nozioni Topologiche basilari per affrontare le questioni di Geometria Differenziale

Insieme Aperto 

Definizione 

Un generico Insieme $ U $ si dice Aperto se per ogni suo punto, sarà possibile discostarsi di un $ \epsilon $ rimanendo ancora all'interno dell'insieme ovvero 

$$ \forall p \in U, \exists \epsilon \in \mathbb{R}^{+} : \forall y \in \{y : d(x,y) < \epsilon \} \Rightarrow y \in U $$

Osservazione 

Tale definizione implica che sia stata definita una opportuna Distanza ovvero una funzione 

$$ d : U \times U \rightarrow \mathbb{R}^{+} $$ 

con tutte le proprietà di una Distanza 

Esempi 

Insieme $ (a,b) \in \mathbb{R} $ è un Insieme Aperto dato che rispetta evidentemente la definizione di cui sopra. 

Insieme $ [a,b] \in \mathbb{R} $ invece non è un Aperto in quanto posizionando sui bordi dell'insieme ovvero in $ a $ e $ b $ allora non esiste alcun $ \epsilon \in \mathbb{R}^{+} $ che soddisfi la definizione 

Si comprende quindi come il concetto di bordo sia importante per determinare 

se un Insieme è Aperto o meno. 

Insieme Compatto 

Definizione 

Un generico Insieme $ U $ esso si dice Compatto se dato un suo ricoprimento Aperto è possibile estrarre da esso un sottoricoprimento finito ovvero 

Prendendo la famiglia $ \{ U \}_{i \in I} $ come ricoprimento aperto abbiamo che 

$$ \bigcup_{i \in I} U_{i} \supseteq U \qquad U_{i} \text{ Aperto } \forall i \in I $$

sarà possibile determinare una sottofamiglia di aperti con un numero finito di elementi individuati dalla condizione $ i \in J $ tale da avere un altro ricoprimento 

$$ \bigcup_{i \in J} U_{i} \supseteq U $$ 

Diffusione data Operatore Media

Definizione 

Consideriamo il caso di un Reticolo Discreto di passo $ h \in \mathbb{R} $ ovvero le coordinate del Reticolo sono identificate dalla Tupla $ (x_1, x_2, ..., x_n) \in \mathbb{R}^{n} $ con $ x_{i} = k_{i}h $ tale che $ k_{i} \in \mathbb{Z} \qquad \forall i=1,...,n $
Immaginiamo che la funzione 

$$ p(\mathbf{x}, t) \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, t \in \mathbb{R} $$

esprima la Probabilità che un Random Walker si trovi nella posizione $ \mathbf{x} $ del Reticolo 

al tempo $ t $

Immaginiamo che le transizioni avvengano in un intervallo temporale $ \tau \in \mathbb{R} $

Quindi possiamo definire la Dinamica in base alla quale evolve il Sistema definendo $ p(\mathbf{x}, t + \tau) $ in funzione di $ p(\mathbf{x}, t) $

Ipotizziamo che ogni salto sia equiprobabile e quindi 

$$ p(\mathbf{x}, t + \tau) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left ( p(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) + p(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) \right ) $$

L’evoluzione in questione è quindi data da una Media non pesata di tutte le possibili strade che in ogni momento il camminatore può prendere

A questo punto possiamo passare ad un punto di vista Operatoriale definiendo un Operatore che, agendo sulla Distribuzione di Probabilità in un dato istante, la trasforma passando all’istante successivo.

Per questa definizione possiamo utilizzare un accorgimento per renderla meno verbosa e più chiara, utilizzando $ \mathbf{y} $ come punto di arrivo del salto, il quale deve distare da quello di partenza un passo del Reticolo e quindi $ \left | \mathbf{x} - \mathbf{y} \right | = h $ 

Per cui l’operatore Media risulta così definito 

$$ M_{h}p(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{2n} \sum_{\mathbf{y} : \left | \mathbf{x} - \mathbf{y} \right | = h } p(\mathbf{y}, t) $$

e per fare in modo che esso generi una dinamica sarà sufficiente introdurre la evoluzione temporale nel seguente modo 

$$ p(\mathbf{x}, t + \tau) = M_{h}p(\mathbf{x}, t) $$

Osserviamo ora una Proprietà interessante di questo Operatore studiando il suo Sviluppo in Serie di Taylor nell’intorno di un generico punto, considerando una generica funzione $ f(x) $ indipendente dal tempo, per semplicità.  

$$\begin{align}
& M_{h}f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left ( f(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) + f(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) \right ) \nonumber \\

& f(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) = f(\mathbf{x}) + \frac{\partial}{\partial x_{i}}f(\mathbf{x})h + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}f(\mathbf{x})h^2 + O(h^2) \nonumber \\

& f(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) = f(\mathbf{x}) - \frac{\partial}{\partial x_{i}}f(\mathbf{x})h + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}f(\mathbf{x})h^2 + O(h^2) \nonumber \\

& M_{h}f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2n} \Delta f(\mathbf{x}) h^2 + O(h^2) \nonumber
\end{align}$$

Intendendo con $ \Delta $ Operatore di Laplace ovvero 

$$ \Delta = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2} $$

Osserviamo che per ogni Dimensione, abbiamo la Somma di due Termini, l'uno dato da un passo lungo una direzione e l'altro lungo la direzione opposta. 

Sviluppando in Serie di Taylor la Somma dei 2 Termini, osserviamo l'effetto che questa dinamica comporta a livello di derivata: le derivate dispari si elidono per via della simmetria del moto e rimangono solo quelle pari.

Quindi in definitiva si trova che 

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{M_{h} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x})}{h^2} = \frac{1}{2n} \Delta f(\mathbf{x}) $$

In questo modo si è dimostrata la stretta relazione che sussiste tra l’Operatore di Media e quello di Laplace che sappiamo originare una Dinamica Diffusiva appunto

Introduzione a Openstreetmap

Introduzione a Openstreetmap 

Openstreetmap e Openlayers sono una buona alternativa al famoso Google Maps, per la realizzazione di applicazioni Maps based.

Inclusione Librerie necessarie 

Per utilizzare Openstreetmap sarà sufficiente includere, all'interno dei tag head le seguenti librerie 

<script src="http://www.openlayers.org/api/OpenLayers.js">
</script>

Mappa Navigabile 

Per creare una semplice Mappa navigabile, sarà sufficiente creare anzitutto un Oggetto OpenLayers.Map al quale andrà associato un div_id ovvero ID di un Elemento HTML, tipicamente un div, che fungerà da contenitore per la mappa in questione.

All’oggetto OpenLayers.Map andrà associato un primo Layer contenente la vera e propria Mappa, il quale è rappresentato da un oggetto OpenLayers.OSM

Javascript

map_obj = new OpenLayers.Map("div_id");
map_obj.addLayer(new OpenLayers.Layer.OSM());

HTML 

<div id="div_id" class="smallmap"></div>

Per il centraggio della Mappa in un punto, sarà necessario creare un opportuno oggetto che indica le Coordinate di un Punto sulla Mappa rappresentato da OpenLayers.LonLat

Il metodo setCenter si occuperà quindi di centrare la Mappa dove indicato.

Javascript

map.setCenter(new OpenLayers.LonLat(-70, 42).transform(
    new OpenLayers.Projection("EPSG:4326"), 
    map.getProjectionObject()), 
  zoom_level);  

Da notare che il punto indicato viene ritrasformato secondo la Proiezione EPSG 4326 (una delle diverse trasformazioni supportate)

Il parametro zoom_level è tipicamente un intero compreso tra 1 e 16 anche se è possibile avere, settando opportunamente la mappa, uno zoom frazionale.

Riflessioni - System Integration

Riflessioni relative alla System Integration 

La System Integration è una esigenza ormai ubiqua, ovvero presente all’interno di un variegato insieme di ambiti. 

Questo perchè le Architetture IT si sono recentemente evolute verso la esportazione di un numero crescente di Servizi che svolgono diversi compiti ad un diverso grado di specificità e con differenti policy a livello di sicurezza, pagamento, …

Questa dinamica evolutiva ha reso disponibili sul Mercato, soprattutto dell’Open Source, una miriade di Sistemi di elevata qualità, configurando ed integrando propriamente i quali si riescono ad ottenere performance all’altezza delle esigenze delle più importanti realtà produttive.

Certamente ciò ha fatto crescere notevolmente l’importanza della figura System Integrator: una figura professionale che deve accorpare in se diverse tipologie di competenze, sia tecniche (Sviluppo Software, Configurazione, ...) che relazionali, dovendosi proporre sia come interfaccia umana trasversalmente a diversi reparti dell’Azienda Cliente, che come Referente per conto della Community che mantiene e sviluppa le varie Soluzioni Open Source adottate.

In passato, all’interno del Panorama Italiano, un paradigma di sviluppo particolarmente seguito era quello dello Sviluppo Custom di una Soluzione ad hoc per la soddisfazione di una particolare esigenza, seguendo una logica abbastanza closed, monolitica e poco incline al riuso e alla modularità.

Recentemente invece ci si è orientati (almeno all’interno delle realtà più culturalmente allineate con lo stato dell’arte) ad un processo produttivo maggiormente basato su una Dinamica di Analisi (produzione di tanti specifici servizi che risolvono ciascuno un problema circoscritto) e Sintesi (composizione di questi servizi in modo da risolvere problemi più complessi) con conseguenti indubbi vantaggi a livello di 

• Debugging e Testing dei Singoli Moduli 
• Aggiornamento dei Singoli Elementi 
• Riusabilità del Codice 

La System Integration è quindi una disciplina la cui importanza e complessità crescono di pari passi con l'ampliarsi e lo specializzarsi dell'offerta, per lo più proveniente dal Mondo Open Source. 

Basi di Fluidodinamica

Grandezze Interessanti 

Nell'ambito della Fluidodinamica si considerano grandezze Fisiche di particolare interesse, rappresentate da Campi Vettoriali e Scalari nello Spazio 3D con dipendenza dal tempo 

Alcune di queste grandezze sono 

• Campo di Velocità del Fluido (Campo Vettoriale)
  $ \vec u(\vec x, t) $
• Campo di Pressione del Fluido (Campo Scalare)
  $ P(\vec x, t) $
• Campo di Densità del Fluido (Campo Scalare)
  $ \rho(\vec x, t) $ 

Moto di una Singola Particella 

Consideriamo una Singola Particella del Fluido. 

In un dato istante essa occuperà una ben definita posizione per cui sarà univocamente determinata dal vettore $ (\vec x, t) $ rappresentabile anche come una curva parametrica, dipendente dal tempo, che indica la traiettoria della Particella stessa $ \vec x(t) $ 

Velocità 

La Velocità della Particella in un dato istante equivale a quella del Campo di Velocità del Fluido, in quella specifica posizione in quel momento, e quindi 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{x(t)}  = \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) $$ 

Lo spostamento che effettuerà la Particella in quell'istante, determinato dalla sua velocità istantanea, sarà quindi pari a 

$$ \delta \mathbf{x} = \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \delta t $$ 

Accelerazione 

L'Accelerazione Istantanea a cui è sottoposta la Particella è determinabile conoscendo il Campo di Velocità del Fluido. 

Essa sarà data dalla Derivata Totale di questo Campo rispetto al Tempo ed il risultato sarà un altro Campo Vettoriale 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) $$ 

Applicando la Chain Rule si passa alle Derivate Parziali ottenendo 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} $$ 

Osservazione  Calcolo Accelerazione con Chain Rule Da notare che \begin{align} & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \frac{\partial \mathbf{x_{i}}}{\partial t} \nonumber \\ & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \mathbf{u_{i}}\nonumber \\ & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)  \mathbf{u}  \nonumber \end{align} Ricordando che $ \mathbf{u} \cdot \nabla $ è un Operatore Differenziale ottenuta svolgendo il Prodotto Scalare tra il Campo Vettoriale e l'Operatore Differenziale $ \nabla $ nello Spazio Euclideo Tridimensionale $$ \mathbf{u} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^{3} u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} $$ che agisce su $ \mathbf{u} $ Campo di Velocità appunto

Si osserva quindi che l'accelerazione è data dalla somma di 2 componenti

• la componente $ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} $ che deriva dalla Variazione Locale nel Tempo del Campo di Velocità del Fluido
• la componente $ (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} $ dovuta allo spostamento della Particella in questione all'interno del Campo di Velocità, il quale presenta valori locali diversi appunto 

Variazione di Densità 

Considerando il Campo Scalare di Densità $ \rho(\mathbf{x}, t) $ si otterrà una Derivata Totale dello stesso rispetto al Tempo in modo analogo al caso precedente ovvero 

$$ \frac{d}{dt} \rho(\mathbf{x}, t) = \frac{\partial}{\partial t} \rho(\mathbf{x}, t) + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \rho(\mathbf{x}, t) $$ 

Osservazione  Calcolo Variazione di Densità con Chain Rule Da notare che \begin{align} & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \frac{\partial \mathbf{x_{i}}}{\partial t} \nonumber \\ & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \mathbf{u_{i}}\nonumber \\ & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)  \rho  \nonumber \end{align} Ricordando che $ \mathbf{u} \cdot \nabla $ è l'Operatore Differenziale già definito in precedenza per il calcolo dell'accelerazione, ottenuto svolgendo il Prodotto Scalare tra il Campo Vettoriale e l'Operatore Differenziale $ \nabla $ nello Spazio Euclideo Tridimensionale $$ \mathbf{u} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^{3} u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} $$ che agisce su $ \rho $ Campo di Densità appunto

Appunto

Derivata Direzionale

Definizione 

Consideriamo uno Spazio Euclideo n-Dimensionale. 

All'interno di questo Spazio, sarà possibile individuare una Retta conoscendo 

• un Punto $ p \in \mathbb{R}^{n} $ di passaggio 
• il Vettore Direzione $ A \in \mathbb{R}^{n} $ della stessa 

La Equazione Parametrica della Retta in questione sarà quindi 

$$ p(t) = p + A t \qquad t \in \mathbb{R} $$ 

Considerando quindi la Base Canonica dello Spazio in questione, le equazioni relative alle Singole Componenti sono 

$$ p = (p_{1} + A_{1}t, ..., p_{n} + A_{n}t) $$ 

Consideriamo quindi un Campo Scalare  

\begin{align}

& f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \text{ t. c. } \nonumber \\
& f \text{ is } C^{\infty} \qquad \forall q \in U(p) \text{ Intorno di } p \in \mathbb{R}^{n} \nonumber

\end{align}

rappresentato da una Funzione che sia di tipo $ C^{\infty} $ nell'intorno di ogni punto $ p $ del suo Dominio

Sarà allora possibile definire il concetto di Derivata Direzionale utilizzando il classico concetto di rapporto incrementale ovvero
$$ D_{A}\biggr\rvert_{p} f = \frac{d}{dt} \biggr\rvert_{t=0} f(p(t)) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(p(t)) - f(p(0))}{t} $$

Si è quindi definito anche l'Operatore $ D_{A} \biggr\rvert_{p} $ di Derivata Direzionale che agisce lungo la Direzione $ A $ nell'intorno del Punto $ p $ e ritorna uno Scalare che rappresenta una Misura dell'Incremento del Campo lungo la Direzione richiesta appunto.

Manifold Topologico

Definizione di Manifold Topologico 

Dato uno Spazio Topologico (ovvero uno Spazio sul quale sia stata definita una Topologia e quindi siano stati definiti con chiarezza gli Aperti ed i Chiusi) definiamo le seguenti proprietà

Second Countable 

Definizione
Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Second Countable se la sua Topologia ammette una Base Numerabile. 

Questo significa che esiste una Collezione di Aperti di $ T $ così definita 

$$ U = \left \{ U_{i} \right \}_{i=1}^{\infty} $$ 

tale che $ \forall V \subset T $ Aperto sia esprimibile come Unione di Elementi della Collezione $ U $ ovvero 

$$ V = \bigcup_{i=1}^{k}U'_{i} \qquad U' \subset U $$

Proprietà

Ereditarietà
Ogni Sottospazio di uno Spazio Second Countable è anch'esso Second Countable.

Hausdorff Space 

Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Spazio di Hausdorff ovvero Spazio Separato
ovvero Spazio $ T_2 $ se 

Dati 2 punti distinti in questo spazio, esistono intorni di questi che non hanno elementi in comune 

Indicando con $ U(p) \subset T $ l'intorno di un punto $ p \in T $ 

(Concetto ben definito dato che $ T $ è uno Spazio Topologico) 

possiamo dire che 

$$ \forall p,q \in T, \exists U(p), U(q) \subset T \qquad \text{t. c.} \qquad U(p) \cap U(q) = \emptyset  $$ 

Proprietà

Ereditarietà
Ogni Sottospazio di uno Spazio di Hausdorff è anch'esso uno Spazio di Hausdorff. 

Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ 

Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ se 

dato ogni suo punto è possibile costruire un omeomorfismo tra l'intorno di tale punto ed un Aperto di $ \mathbb{R}^{n} $ 

Ovvero se 

$$ \forall p \in T, \exists \phi : U(p) \rightarrow \mathbb{R}^{n} \text{ Omeomorfismo } $$ 

Manifold Topologico 

Uno Spazio Topologico $ T $ che sia 

• Second Countable 
• Hausdorff Space 
• Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ 

viene chiamato Manifold Topologico appunto

Esempi 

Generico Sottospazio di $ \mathbb{R}^{n} $ 

Consideriamo un generico $ U \subset \mathbb{R}^{n} $ e verifichiamo che esso è un Manifold Topologico. 

Anzitutto osserviamo che, dato che $ \mathbb{R}^{n} $ è Second Countable e di Hausdorff anche $ U $ avrà queste proprietà per via della ereditarietà delle stesse. 

Rimane quindi da costruire il $ \forall p \in U, \phi : U(p) \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ ma dato che
$ U $ è un sottospazio di $ \mathbb{R}^{n} $ banalmente esso sarà Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ e quindi il Mapping in questione può essere la Identità (Mapping che manda ogni Elemento in se stesso) 

Osservazione  Non Necessità di Omeomorfismo Globale Da notare che la Definizione di Manifold Topologico non richiede che il $ T $ Spazio Topologico sia globalmente omeomorfo a $ \mathbb{R}^{n} $ ma solo localmente. Consideriamo un Rettangolo nello Spazio Euclideo $ E^2 $ che facciamo corrispondere a $ \mathbb{R}^2 $ Descriviamo analiticamente il Rettangolo in questione con le Disequazioni \begin{align} & 0 \le x \le a \nonumber \\ & 0 \le y \le b \nonumber \end{align} Questo Sottoinsieme di $ \mathbb{R}^{2} $ è compatto e quindi non è omeomorfo a $ \mathbb{R}^{2} $ (ricordiamo che Omeomorfismo preserva le Proprietà Topologiche come la Compattezza appunto) ma ogni intorno di ogni generico punto al suo intorno è omeomorfo a $ \mathbb{R}^{2} $ usando semplicemente il Mapping Identitario (quello che mappa ogni punto in se stesso) Le altre proprietà richieste per essere un Manifold Topologico sono come al solito ereditate appunto