Derivata Direzionale

Definizione 

Consideriamo uno Spazio Euclideo n-Dimensionale. 

All'interno di questo Spazio, sarà possibile individuare una Retta conoscendo 

• un Punto $ p \in \mathbb{R}^{n} $ di passaggio 
• il Vettore Direzione $ A \in \mathbb{R}^{n} $ della stessa 

La Equazione Parametrica della Retta in questione sarà quindi 

$$ p(t) = p + A t \qquad t \in \mathbb{R} $$ 

Considerando quindi la Base Canonica dello Spazio in questione, le equazioni relative alle Singole Componenti sono 

$$ p = (p_{1} + A_{1}t, ..., p_{n} + A_{n}t) $$ 

Consideriamo quindi un Campo Scalare  

\begin{align}

& f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \text{ t. c. } \nonumber \\
& f \text{ is } C^{\infty} \qquad \forall q \in U(p) \text{ Intorno di } p \in \mathbb{R}^{n} \nonumber

\end{align}

rappresentato da una Funzione che sia di tipo $ C^{\infty} $ nell'intorno di ogni punto $ p $ del suo Dominio

Sarà allora possibile definire il concetto di Derivata Direzionale utilizzando il classico concetto di rapporto incrementale ovvero
$$ D_{A}\biggr\rvert_{p} f = \frac{d}{dt} \biggr\rvert_{t=0} f(p(t)) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(p(t)) - f(p(0))}{t} $$

Si è quindi definito anche l'Operatore $ D_{A} \biggr\rvert_{p} $ di Derivata Direzionale che agisce lungo la Direzione $ A $ nell'intorno del Punto $ p $ e ritorna uno Scalare che rappresenta una Misura dell'Incremento del Campo lungo la Direzione richiesta appunto.