Definizione
Con Matrice Densità si intende una Matrice relativa ad un Sistema Quantistico che rappresenta il contributo normalizzato che ogni Autostato del Sistema in questione, da allo Stato Misto istantaneo considerato.
Analogamente la Matrice Densità può essere considerata come una sorta di PDF (Probability Density Function) relativa alla Probabilità che, effettuando una misura istantanea, il Sistema cada in uno dei suoi Autostati.
$$ \rho = \sum_{i=1}^{N} p_{i} | \psi_i(t) \rangle \langle \psi_i(t) | $$
Si tratta quindi di una Matrice $ n \times n $ strutturata nel seguente modo
- sulla Diagonale Principale stanno Valori relativi al peso di ogni Singolo Autostato nella Mistura attuale
- al di fuori della Diagonale Principale ci sono solo zero, perchè gli Austostati sono tutti Ortogonali tra loro
Osservazione Singolo Autostato Allo stesso modo è possibile definire la Matrice Densità relativamente al Singolo Autostato $$ \rho_{i} = p_{i} | \psi_{i}(t) \rangle \langle \psi_{i}(t) | $$ Data l’Ortogonalità degli Autostati, sappiamo che la Matrice $ | \psi_{i}(t) \rangle \langle \psi_{i}(t) | $ è una Matrice Quadrata $ n \times n $ che vale ovunque zero tranne che nella posizione (i,i) in cui vale uno Quindi la Matrice Densità risulta definito anche come $$ \rho = \sum_{i=1}^{N} p_{i} \rho_{i} $$ Evoluzione Temporale Si noterà che la Matrice Densità così presentata è un valore che dipende dal tempo. Noto il suo valore per un determinato Stato, sarà possibile calcolare quello in un qualsiasi istante applicando l’Operatore Evoluzione Temporale precedentemente calcolato e quindi il valore di questo Operatore in un generico istante $ \rho(t) = | \psi(t) \rangle \langle \psi(t) | $ si può calcolare conoscendo quello in un dato istante $ \rho(0) = | \psi(0) \rangle \langle \psi(0) | $ applicando l'Operatore Evoluzione Temporale |
Dalla Matrice Densità si può determinare la Informazione contenuta nel Sistema per misurare la quale si può utilizzare una Misura di Entropia (nel senso della Teoria dell’Informazione)
La prima misura di questo tipo, definita per Sistema Quantistici, è la Von Neumann Entropy
che ha una formulazione simile alla Shannon Entropy
Tutta la Informazione necessaria a definire la Von Neumann Entropy per la Matrice Densità si trova negli Autovalori della Matrice stessa
A questo punto è possibile introdurre una Misura di Distanza tra Sistemi Quantistici basata sulla Informazione contenuta in essi e quindi sulla loro Von Neumann Entropy
Una di queste Misure di Distanza è la Jensen Shannon Divergence la quale è così definita
$$ D_{JS}(\rho, \sigma) = H_{N}\left ( \frac{\rho + \sigma}{2} \right ) - \frac{1}{2} H_{N}(\rho) - \frac{1}{2} H_{N}(\sigma) $$
In cui $ \rho $ e $ \sigma $ sono gli Operatori Densità di 2 diversi Sistemi Quantistici
Proprietà Matematiche di questa Misura
Si può dimostrare che questa Quantità rispetta tutte le Proprietà che deve avere una Misura
Appunto
Proprietà Matematiche di questa Misura
Si può dimostrare che questa Quantità rispetta tutte le Proprietà che deve avere una Misura
Appunto