Processi di Wiener - Esempi

Esercizi di Esempio 

Es 1 

Calcolare la Probabilità che dopo $ t = 5 $ sec un Processo di Wiener privo di drift che rappresenta il moto di una Particella e che parte da 0 abbia un valore positivo 

Che tipo di data manca per effettuare un calcolo preciso ? 

Cosa cambierebbe se invece partisse dal valore 3 ? 

Es 1 - Soluzione  

Si consideri un generico Processo di Wiener $ W_{t} $ 

Dalla Teoria è noto che 

$ W_{t} \sim N(\mu, \sigma^2) $  con $ \sigma^2 = 2 D t $ 

Dato che il Processo in questione rappresenta il moto di una particella, il valore del Processo di Wiener sarà dimensionalmente uno spazio, per cui
$ [\sigma^2] = [m^2] $

Il passaggio dal tempo di osservazione (dato del problema) allo spazio percorso avviene per mezzo Coefficiente di Diffusione $ D $ che manca.

Supponiamo che $ D = \frac{1}{2} $ per semplicità ma si osserva immediatamente che, per ragioni di simmetria, il valore di $ D $ non influenza la risposta alla Prima Domanda mentre è importante per la risposta alla Seconda Domanda.

Dalle Ipotesi di cui sopra abbiamo che
$ \sigma^2 = 2 D t \Rightarrow \sigma^2 = t $

Dai Dati sappiamo che 

• Privo di Drift --> $ \mu = 0 $ 
• La Prima Condizione Iniziale ci da $ W_{0} = 0 $ 
• Infine il tempo di osservazione fissa la Varianza della Distribuzione Gaussiana relativa ai possibili valori assunti $ \sigma^2 = 5 $ 

Quindi la risposta alla Prima Domanda è data da 

$$ P(\{ W_{5} > 0 | W_{0} = 0 \}) = P(\{ N(0, 5) > 0 \} ) = \frac{1}{2} $$ 

La Seconda Domanda modifica semplicemente il problema nel seguente modo 

$$ P(\{ W_{5} > 0 | W_{0} = 3 \}) = P( \{N(0, 5) > -3 \} )$$