Esercizi di Esempio
Es 1
Calcolare la Probabilità che dopo $ t = 5 $ sec un Processo di Wiener privo di drift che rappresenta il moto di una Particella e che parte da 0 abbia un valore positivo
Che tipo di data manca per effettuare un calcolo preciso ?
Cosa cambierebbe se invece partisse dal valore 3 ?
Es 1 - Soluzione
Si consideri un generico Processo di Wiener $ W_{t} $
Dalla Teoria è noto che
$ W_{t} \sim N(\mu, \sigma^2) $ con $ \sigma^2 = 2 D t $
Dato che il Processo in questione rappresenta il moto di una particella, il valore del Processo di Wiener sarà dimensionalmente uno spazio, per cui
$ [\sigma^2] = [m^2] $
Il passaggio dal tempo di osservazione (dato del problema) allo spazio percorso avviene per mezzo Coefficiente di Diffusione $ D $ che manca.
Supponiamo che $ D = \frac{1}{2} $ per semplicità ma si osserva immediatamente che, per ragioni di simmetria, il valore di $ D $ non influenza la risposta alla Prima Domanda mentre è importante per la risposta alla Seconda Domanda.
Dalle Ipotesi di cui sopra abbiamo che
$ \sigma^2 = 2 D t \Rightarrow \sigma^2 = t $
Dai Dati sappiamo che
- Privo di Drift --> $ \mu = 0 $
- La Prima Condizione Iniziale ci da $ W_{0} = 0 $
- Infine il tempo di osservazione fissa la Varianza della Distribuzione Gaussiana relativa ai possibili valori assunti $ \sigma^2 = 5 $
Quindi la risposta alla Prima Domanda è data da
$$ P(\{ W_{5} > 0 | W_{0} = 0 \}) = P(\{ N(0, 5) > 0 \} ) = \frac{1}{2} $$
La Seconda Domanda modifica semplicemente il problema nel seguente modo
$$ P(\{ W_{5} > 0 | W_{0} = 3 \}) = P( \{N(0, 5) > -3 \} )$$
Nessun commento:
Posta un commento