Spazio Euclideo Complesso

Definizione 

Consideriamo uno Spazio Vettoriale Euclideo Complesso a Dimensione n Finita 

Trattandosi di uno Spazio Euclideo, su di esso abbiamo quindi la Definizione di un Prodotto Scalare che induce quella di Norma e di Distanza come indicato qua 

Individuiamo una Base Ortonormale (Ortogonalità deriva dal concetto di Prodotto Scalare e Normalizzazione deriva dal concetto di Norma, entrambi ben definiti in questo Spazio)  per questo Spazio 

$$ \left \{ \vec e_{i} \right \}_{i=1,...,n} $$ 

Quindi un generico elemento di questo spazio sarà esprimibile tramite una combinazione lineare delle sue proiezioni sulle varie Basi 

$ x = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \vec e_{i} $ 

Con $ x_{i} \in \mathbb{C} \quad \forall i = 1,...,n $

Trattandosi di uno Spazio a valori complessi, la Definizione di Prodotto Scalare adottata sarà la seguente 

$ (x,y) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^* y_{i} $

Con Asterisco che indica il Complesso Coniugato dal Valore Iniziale 

Un tale Prodotto Scalare induce quindi una Norma di questo tipo 

$ \left \| x \right \| = \sqrt{(x,x)} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left | x \right |^2} $

La Ortonormalità di Elementi di questo Spazio Vettoriale si basa sulla Composizione di 2 concetti 

• quello di Ortogonalità, che punta ad individuare il Kernel dell’Operazione di Prodotto Scalare
  ovvero $ x \in \ker (\cdot, \cdot) $
• quello di Normalizzazione, che punta ad individuare quei Vettori che abbiano Norma Unitaria 

Appunto