Proprietà di Gaussianità e Stazionarietà degli Incrementi di un Processo Stocastico

Introduzione 

Riprendendo le Definizioni Precedenti di Stazionarietà e Gaussianità di un Processo Stocastico possiamo facilmente definire le stesse proprietà per gli incrementi dello stesso, definendo gli incrementi

Definizione di Incremento 

Dato un 

$ Y_t : t \ge 0 $ : Processo Stocastico 

si dice Incremento del Processo in un certo intervallo $ s^{\ast} > t^{\ast} $ la Variabile Aleatoria ottenuta dalla Differenza tra 2 Variabile Aleatorie estratte dal Processo negli istanti $ s^{\ast} $ e $ t^{\ast} $

$ Y_{t^{\ast}-s{\ast}} = Y_{t^{\ast}} - Y_{s^{\ast}} $

Stazionarietà 

Nel caso in cui la Distribuzione di questa Variabile Aleatoria non dipenda dal tempo, si dice che 

gli Incrementi sono Stazionari e quindi la Distribuzione di $ Y_{t^{\ast}-s^{\ast}} $ è la stessa di $ Y_{t^{\ast}-s^{\ast}+h} $ 

Gaussianità 

Nel caso in cui la Distribuzione di questa Variabile Aleatoria sia Gaussiana, si dice che gli Incrementi sono Gaussiani e quindi $ Y_{t^{\ast}} \sim N(\mu, \sigma) $