Definizione
Il concetto di Topologia coimplica la definizione di un concetto Vicinanza tra gli elementi di uno Spazio.
La vicinanza in questione non deve essere per forza quantificata, basta anche solo potere distinguere tra ciò che è vicino e ciò che è lontano.
Un esempio di vicinanza non quantificata può essere ritrovato ad esempio nel caso
di un Grafo non pesato:
ogni Vertice ha un Vicinato, quindi un Insieme di Nodi Vicini, che possono essere un Sottoinsieme dei Vertici Totali, a meno di Grafi Fully Connected appunto.
In generale, una Topologia viene definita su un generico Insieme ed è una Collezione di Sottoinsiemi che rispetti determinate Proprietà di Chiusura rispetto alle classiche Operazioni Insiemistiche di Unione ed Intersezione ovvero
Tramite la Definizione di una Topologia si perviene alla Definizione di Insieme Aperto che permette poi di definire quello di Vicinato di un Punto e quindi di pervenire al concetto di Intorno, alla base della nozione di Continuità.
Se si lavora con Insiemi dal Numero di Elementi Finito (e magari limitato e non troppo grande)
si può anche definire una Topologia indicando esplicitamente Sottoinsiemi dell’Insieme Originale che ne fanno parte.
Quando si lavora con Insiemi ad Alta Numerosità o con Infiniti Elementi, chiaramente questo approccio diventa impossibile.
Un altro modo di Definire una Topologia è quello di Indurla tramite la Definizione di una Metrica.
Tale strategia permette di pervenire al Concetto di Vicinanza ovvero di Intorno di un Punto e quindi da quello muoversi logicamente in direzione opposta a quella presentata in precedenza, per risalire quindi alla Topologia Indotta dalla Metrica.
In base a questo ragionamento, la Introduzione di una Norma in uno Spazio induce quindi una Topologia in esso.
La vicinanza in questione non deve essere per forza quantificata, basta anche solo potere distinguere tra ciò che è vicino e ciò che è lontano.
Un esempio di vicinanza non quantificata può essere ritrovato ad esempio nel caso
di un Grafo non pesato:
ogni Vertice ha un Vicinato, quindi un Insieme di Nodi Vicini, che possono essere un Sottoinsieme dei Vertici Totali, a meno di Grafi Fully Connected appunto.
In generale, una Topologia viene definita su un generico Insieme ed è una Collezione di Sottoinsiemi che rispetti determinate Proprietà di Chiusura rispetto alle classiche Operazioni Insiemistiche di Unione ed Intersezione ovvero
- Insieme Vuoto deve appartenere alla Topologia
- Unione di un Numero Arbitrario di Elementi della Topologia deve essere un Elemento della Topologia (Chiusura rispetto ad Unione)
- Intersezione di un Numero Arbitrario di Elementi della Topologia deve essere un Elemento della Topologia (Chiusura rispetto ad Intersezione)
Tramite la Definizione di una Topologia si perviene alla Definizione di Insieme Aperto che permette poi di definire quello di Vicinato di un Punto e quindi di pervenire al concetto di Intorno, alla base della nozione di Continuità.
Se si lavora con Insiemi dal Numero di Elementi Finito (e magari limitato e non troppo grande)
si può anche definire una Topologia indicando esplicitamente Sottoinsiemi dell’Insieme Originale che ne fanno parte.
Quando si lavora con Insiemi ad Alta Numerosità o con Infiniti Elementi, chiaramente questo approccio diventa impossibile.
Un altro modo di Definire una Topologia è quello di Indurla tramite la Definizione di una Metrica.
Tale strategia permette di pervenire al Concetto di Vicinanza ovvero di Intorno di un Punto e quindi da quello muoversi logicamente in direzione opposta a quella presentata in precedenza, per risalire quindi alla Topologia Indotta dalla Metrica.
In base a questo ragionamento, la Introduzione di una Norma in uno Spazio induce quindi una Topologia in esso.
Nessun commento:
Posta un commento