Misura di Probabilità

Definizione 

Formalmente una Misura di Probabilità è una funzione definita su una certa Sigma Algebra, a Valori Reali e quindi considerando lo Spazio degli Eventi $ (\Omega, F) $ con 

• $ \Omega $ Insieme Universo e 
• $ F $ Sigma Algebra definita su di esso 

abbiamo che la $ \mu $ Misura di Probabilità risulta 

$$ \mu : F \rightarrow \mathbb{R} $$ 

ed essa deve rispettare determinate Proprietà ovvero 

Positività 

Quindi è necessario che 

$$ \mu(A) \ge 0 \quad \forall A \in F$$ 

Misura dell'Insieme Vuoto 

$$ \mu(\emptyset) = 0 $$

Sigma-Additività 

Con una Collezione $ \{ E_{i} \}_{i=1,...,n} $ di Insiemi Disgiunti nella Sigma Algebra $ F $ abbiamo che 

$$ \mu \left ( \bigcup_{i=1}^{n} E_{i} \right ) = \sum_{i=1}^{n} \mu \left ( E_{i} \right ) $$ 

Inoltre, perchè $ \mu $ sia una Misura di Probabilità, e non solo una Misura, è necessario che essa sia Normalizzata e quindi 

Normalizzazione 

$$ \mu(\Omega) = 1 $$

Osservazione Formalmente la Misura di Probabilità è definita sugli Elementi di una Sigma Algebra, ovvero sull'Insieme dei possibili sottoinsiemi di $ \Omega $ La Proprietà della Sigma-Additività dice che la Misura dell'Unione di una Serie di Elementi Disgiunti della Sigma-Algebra è data dalla Sommatoria delle Misure dei Singoli Elementi. Il miglior modo quindi di coprire tutto l'Insieme Universo con Insiemi Disgiunti è quindi quello di usare tutti gli Elementi Atomici contenuti in $ \Omega $

Appunto

Probabilità di un Evento

Il concetto di Misura di Probabilità insieme con quello di Integrale di Lebesgue permettono di definire in modo formale cosa sia la Probabilità di un Evento $ A \in F $ relativo ad uno Spazio di Probabilità $ (\Omega, F, P) $ 

Essa può essere definita come 

$$ P(A) = \int_{\Omega} Ind_{A}(x) dP(x) $$ 

La Variabile $ x $ Spazia su tutto $ \Omega $ e quando un elemento appartiene all'Insieme $ A $ (appartenente alla Sigma Algebra definita su $ \Omega $) la Funzione Indicatrice ritorna il valore 1 e quindi la Probabilità Totale aumenta di un $ dP(x) $