Convergenza di una Serie di Potenze Complessa

Definizione 

Una Serie di Potenze in Campo Complesso ha la forma 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n} $$ 

Una Proprietà di grande importanza è il suo $ r $ Raggio di Convergenza il quale delimita, sul Piano Complesso, una zona circolare centrata in $ z_0 $ Centro della Serie, tale per cui
SSE $ z $ in questa zona, la Serie Converge

Esistono diversi Teoremi da utilizzare per determinare il Raggio di Convergenza della Serie a second 

di come è fatta.

Caso Considerato 

Vediamo il caso particolare in cui $ a_{n} = b^{n} $ con $ b > 0 $

e con 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} b^{n} (z - z_{0})^{kn} $$

Con $ k \in \mathbb{N} $ 

Possiamo ricondurci quindi al caso di una Serie Geometrica in questo modo 

$ \sum_{n=0}^{\infty} \left ( \left ( b^{\frac{1}{k}} \left ( z - z_0 \right ) \right )^{k} \right )^{n} $

la quale converge per
$ \left | \left ( b^{\frac{1}{k}} \left ( z - z_0 \right ) \right )^{k} \right | < 1 $

Quindi
\begin{align}
& \left | \left ( b^{\frac{1}{k}} \left ( z - z_0 \right ) \right )^{k} \right | < 1 \nonumber \\
& \left | \left ( b^{\frac{1}{k}} \left ( z - z_0 \right ) \right ) \right |^{k} < 1 \nonumber \\
& \left | \left ( b^{\frac{1}{k}} \left ( z - z_0 \right ) \right ) \right | < 1 \nonumber \\
& b^{\frac{1}{k}} \left | \left ( z - z_0 \right ) \right | < 1 \nonumber \\
& \left | \left ( z - z_0 \right ) \right | < b^{-\frac{1}{k}} \nonumber
\end{align}

Questa ultima Disequazione definisce quindi la Area di Convergenza della Serie nel Campo Complesso delimitata dalla Circonferenza
$$ (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 = b^{- \frac{2}{k}} $$

Con
\begin{align}
& z = x + iy \nonumber \\
& z_{0} = x_{0} + i y_{0} \nonumber
\end{align}

Appunto