Spazio Euclideo

Definizione 

Uno Spazio Euclideo è uno Spazio Vettoriale $  V $ sul quale sia stata definita un'operazione di Prodotto Scalare $ (\cdot, \cdot) $ 

Un Prodotto Scalare è una Funzione Reale di di 2 Elementi dello Spazio Vettoriale ovvero 

$$ (\cdot, \cdot) : (V, V) \rightarrow \mathbb{R} $$ 

con le seguenti Proprietà 

Commutatività 

$$ (x,y) = (y,x) $$ 

Linearità 

$$ (\lambda (x_1 + x_2), y) = \lambda(x_1, y) + \lambda (x_2, y) $$ 

Hermitianità 

$$ (x, x) \ge 0 $$

Con 

$ (x, x) = 0 \Rightarrow x = 0 $

Induzione provocata dal Prodotto Scalare 

Anzitutto occorre ricordare che 

• Spazio Euclideo $ \Leftrightarrow $   $ \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle $ Prodotto Scalare
• Spazio Normato $ \Leftrightarrow $   $ \left \| \cdot \right \| $ Norma 
• Spazio Metrico $ \Leftrightarrow $    $ d(\cdot, \cdot) $ Distanza 

e che la scelta di una di queste operazioni può indurre la definizione delle altre 

Partendo ad esempio da uno Spazio Euclideo, sarà possibile 

utilizzare una Definizione di Norma Indotta dal Prodotto Scalare come segue 

$$ \left \| x \right \| = \sqrt{\left \langle x,x \right \rangle} $$ 

e utilizzare una Definizione di Distanza Indotta dalla Norma come segue 

$$ d(x, y) = \left \| x - y \right \| $$