Definizione
Spazio di Probabilità
Anzitutto sia dato uno Spazio di Probabilità $ (\Omega, F, P) $ formato da
- uno Spazio Universo $ \Omega $ contenente tutti gli Eventi Atomici possibili
- una Sigma Algebra $ F $ che rappresenta tutti gli Eventi Composti possibili
- una Misura di Probabilità $ P $
Misura di Probabilità Condizionata
Definiamo quindi una nuova Misura di Probabilità detta Misura di Probabilità Condizionata, in questo spazio, nel seguente modo
$$ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
La misura in questione ha senso a meno che B non sia un evento trascurabile.
Eventi Indipendenti
Utilizzando la definizione di Misura di Probabilità Condizionata appena fornita, si può ora definire cosa si intende per Eventi Indipendenti.
Si dice che $ A, B \in F $ sono Eventi Indipendenti se
$$ P(A | B) = P(A) $$
il che è equivalente a dire
$$ P(A \cap B) = P(A) P(B) $$
dato che
\begin{align}
& P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = \frac{P(A) P(B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = P(A) \nonumber
\end{align}
Misura di Probabilità
Osservazione Indipendenza e Misura di Probabilità La Indipendenza di 2 Eventi non è una proprietà dei soli eventi in questione ma essa dipende anche dalla Misura di Probabilità scelta. |
Prendiamo
- uno stesso $ \Omega $ Insieme Universo
- una stessa $ F $ Sigma Algebra
- due diverse Misure di Probabilità $ P_1, P_2 $
così che $ (\Omega, F, P_1) $ e $ (\Omega, F, P_2) $ siano 2 Spazi di Probabilità
Prendiamo 2 eventi qualsiasi $ A, B \in F $ e osserviamo che è possibile che
$$ P_1(A \cap B) = P_1(A) P_1(B) $$
$$ P_2(A \cap B) \neq P_2(A) P_2(B) $$
Quindi gli stessi Eventi $ A $ e $ B $ risultano indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_1 $
e non indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_2 $
Appunto
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