Eventi Indipendenti

Definizione 

Spazio di Probabilità 

Anzitutto sia dato uno Spazio di Probabilità $ (\Omega, F, P) $ formato da 

• uno Spazio Universo $ \Omega $ contenente tutti gli Eventi Atomici possibili 
• una Sigma Algebra $ F $ che rappresenta tutti gli Eventi Composti possibili 
• una Misura di Probabilità $ P $ 

Misura di Probabilità Condizionata 

Definiamo quindi una nuova Misura di Probabilità detta Misura di Probabilità Condizionata, in questo spazio, nel seguente modo 

$$ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ 

La misura in questione ha senso a meno che B non sia un evento trascurabile. 

Eventi Indipendenti 

Utilizzando la definizione di Misura di Probabilità Condizionata appena fornita, si può ora definire cosa si intende per Eventi Indipendenti. 

Si dice che $ A, B \in  F $ sono Eventi Indipendenti se 

$$ P(A | B) = P(A)  $$ 

il che è equivalente a dire 

$$ P(A \cap B) = P(A) P(B) $$ 

dato che

\begin{align}
& P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = \frac{P(A) P(B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = P(A) \nonumber
\end{align}

Misura di Probabilità 

Osservazione Indipendenza e Misura di Probabilità La Indipendenza di 2 Eventi non è una proprietà dei soli eventi in questione ma essa dipende anche dalla Misura di Probabilità scelta.

Prendiamo 

• uno stesso $ \Omega $ Insieme Universo 
• una stessa $ F $ Sigma Algebra 
• due diverse Misure di Probabilità $ P_1, P_2 $ 

così che $ (\Omega, F, P_1) $ e $ (\Omega, F, P_2) $ siano 2 Spazi di Probabilità 

Prendiamo 2 eventi qualsiasi $ A, B \in F $ e osserviamo che è possibile che 

$$ P_1(A \cap B) = P_1(A) P_1(B) $$ 

$$ P_2(A \cap B) \neq P_2(A) P_2(B)  $$ 

Quindi gli stessi Eventi $ A $ e $ B $ risultano indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_1 $ 

e non indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_2 $ 

Appunto