sabato 12 ottobre 2013

Eventi Indipendenti


Definizione 

Spazio di Probabilità 

Anzitutto sia dato uno Spazio di Probabilità $ (\Omega, F, P) $ formato da 
  • uno Spazio Universo $ \Omega $ contenente tutti gli Eventi Atomici possibili 
  • una Sigma Algebra $ F $ che rappresenta tutti gli Eventi Composti possibili 
  • una Misura di Probabilità $ P $ 

Misura di Probabilità Condizionata 

Definiamo quindi una nuova Misura di Probabilità detta Misura di Probabilità Condizionata, in questo spazio, nel seguente modo 

$$ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ 

La misura in questione ha senso a meno che B non sia un evento trascurabile. 


Eventi Indipendenti 

Utilizzando la definizione di Misura di Probabilità Condizionata appena fornita, si può ora definire cosa si intende per Eventi Indipendenti. 

Si dice che $ A, B \in  F $ sono Eventi Indipendenti se 
$$ P(A | B) = P(A)  $$ 

il che è equivalente a dire 
$$ P(A \cap B) = P(A) P(B) $$ 

dato che

\begin{align}
& P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = \frac{P(A) P(B)}{P(B)} \nonumber \\
& P(A | B) = P(A) \nonumber
\end{align}


Misura di Probabilità 

Osservazione
Indipendenza e Misura di Probabilità

La Indipendenza di 2 Eventi non è una proprietà dei soli eventi in questione ma essa dipende anche dalla Misura di Probabilità scelta.


Prendiamo 
  • uno stesso $ \Omega $ Insieme Universo 
  • una stessa $ F $ Sigma Algebra 
  • due diverse Misure di Probabilità $ P_1, P_2 $ 
così che $ (\Omega, F, P_1) $ e $ (\Omega, F, P_2) $ siano 2 Spazi di Probabilità 


Prendiamo 2 eventi qualsiasi $ A, B \in F $ e osserviamo che è possibile che 
$$ P_1(A \cap B) = P_1(A) P_1(B) $$ 

$$ P_2(A \cap B) \neq P_2(A) P_2(B)  $$ 

Quindi gli stessi Eventi $ A $ e $ B $ risultano indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_1 $ 
e non indipendenti sotto la Misura di Probabilità $ P_2 $ 

Appunto 




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