Equazione di Diffusione 1

Definizione 

Una Equazione di Diffusione è una PDE (Partial Differential Equation) in cui compaiono 

• Derivata Temporale di Ordine 1 
• Derivata Spaziale di Ordine 2 

Caso N-Dimensionale 

In un generico spazio n-Dimensionale del tipo $ \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} $ essa ha la seguente forma 

$$ \frac{\partial}{\partial t} u - D \nabla^2 u = f $$ 

con $ D \in \mathbb{R}^{+} $ 

Con $ \nabla^2 $ si intende in questo caso Operatore Laplaciano così definito 

$$ \nabla^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}  $$

Caso Monodimensionale 

Nel caso del moto monodimensionale ovvero con $ \Omega \subseteq \mathbb{R} $ si ha quindi che 

$$ \frac{\partial}{\partial t} u - D \frac{\partial^2}{\partial x^2} u = f $$ 

Equazione di Poisson e Condizione di Equilibrio 

La Condizione di Equilibrio perdura nel tempo, ciò equivale a dire che la Soluzione non evolve più in funzione di questa grandezza per cui $ \frac{\partial}{\partial t} u = 0 $ per cui la Equazione di cui sopra diventa una Equazione di Poisson ovvero 

$$ - D \nabla^2 u = f $$ 

Equazione di Laplace e Condizione di Omogeneità 

Imponendo la Condizione di Omogeneità $ f = 0 $ alla Equazione di Poisson si ottiene una Equazione di Laplace ovvero 

$$ -D \nabla^2 = 0 $$ 

La Soluzione di questa PDE descrive uno Spazio Funzionale che rappresenta il $ \ker \nabla^2 $ i cui elementi hanno proprietà davvero interessanti: le Funzioni Armoniche.

Funzioni Armoniche 

Le Soluzioni della Equazione di Laplace sono le Funzioni Armoniche ovvero Funzioni dalle importantissime proprietà che hanno trovato enorme applicazione nell'ambito della Fisica Matematica 

Osservazione - Generalizzazione del Dominio  La Equazione di Diffusione è indubbiamente una PDE di grande interesse, per via della Dinamica che descrive. La Definizione che fa uso dell'Operatore Laplaciano Standard $ \nabla^2 $ funziona per l'applicazione a domini la cui natura sia quella di manifold differenziabili Nel caso si volesse applicare a manifold frattali si rende necessaria una opportuna ridefinizione dell'Operatore Laplaciano.