Definizione
Una Equazione di Diffusione è una PDE (Partial Differential Equation) in cui compaiono
- Derivata Temporale di Ordine 1
- Derivata Spaziale di Ordine 2
Caso N-Dimensionale
In un generico spazio n-Dimensionale del tipo $ \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} $ essa ha la seguente forma
$$ \frac{\partial}{\partial t} u - D \nabla^2 u = f $$
con $ D \in \mathbb{R}^{+} $
Con $ \nabla^2 $ si intende in questo caso Operatore Laplaciano così definito
$$ \nabla^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2} $$
Caso Monodimensionale
Nel caso del moto monodimensionale ovvero con $ \Omega \subseteq \mathbb{R} $ si ha quindi che
$$ \frac{\partial}{\partial t} u - D \frac{\partial^2}{\partial x^2} u = f $$
Equazione di Poisson e Condizione di Equilibrio
La Condizione di Equilibrio perdura nel tempo, ciò equivale a dire che la Soluzione non evolve più in funzione di questa grandezza per cui $ \frac{\partial}{\partial t} u = 0 $ per cui la Equazione di cui sopra diventa una Equazione di Poisson ovvero
$$ - D \nabla^2 u = f $$
Equazione di Laplace e Condizione di Omogeneità
Imponendo la Condizione di Omogeneità $ f = 0 $ alla Equazione di Poisson si ottiene una Equazione di Laplace ovvero
$$ -D \nabla^2 = 0 $$
La Soluzione di questa PDE descrive uno Spazio Funzionale che rappresenta il $ \ker \nabla^2 $ i cui elementi hanno proprietà davvero interessanti: le Funzioni Armoniche.
Funzioni Armoniche
Le Soluzioni della Equazione di Laplace sono le Funzioni Armoniche ovvero Funzioni dalle importantissime proprietà che hanno trovato enorme applicazione nell'ambito della Fisica Matematica
Osservazione - Generalizzazione del Dominio La Equazione di Diffusione è indubbiamente una PDE di grande interesse, per via della Dinamica che descrive. La Definizione che fa uso dell'Operatore Laplaciano Standard $ \nabla^2 $ funziona per l'applicazione a domini la cui natura sia quella di manifold differenziabili Nel caso si volesse applicare a manifold frattali si rende necessaria una opportuna ridefinizione dell'Operatore Laplaciano. |
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