Introduzione ai Processi Stocastici 1

Duplice Aspetto 

Consideriamo un Processo Stocastico ed osserviamo come esso si sviluppi lungo 2 componenti

• quella Temporale ovvero 
• quella Parametrica 

Il Processo Stocastico nel complesso è quindi
l’insieme di tutte le diverse Repliche (al Variare dei Parametri) dello stesso, che si sviluppano nel Tempo

Indichiamolo con
$ X(t, \theta) $

Con
$ t \in T $ Dimensione Temporale
$ \theta \in \Theta $ Dimensione Parametrica

Quando si effettua una Osservazione di una Specifica Realizzazione del Processo Stocastico in questione si fissa implicitamente la Dimensione Parametrica indicata con $ \theta \in \Theta $ lasciando libera la Dimensione Temporale indicata con $ t \in T $ e si osserva quindi il Processo

$ X(t, \theta_{i}) $


Quando invece si effettua una Osservazione in uno Specifico Istante di Tempo di diverse Realizzazioni del Processo in questione si fissa implicitamente la Dimensione Temporale e si osservano quindi le diverse Realizzazioni ovvero le diverse Repliche dello stesso e quindi

$ X(t_{i}, \theta) $

Collegata ad ognuna di queste 2 Dimensionalità del Processo, si trova la Definizione di una Operazione di Media

• Media su Ensamble relativa alla Dimensione Parametrica e 
• Media Temporale relativa alla Dimensione Temporale 

Media su Ensamble

Consideriamo l’Insieme di tutte le Realizzazioni del Processo $ \left \{ X(t_{i}, \theta) \right \}_{\theta \in \Theta} $

Considerando $ \Theta $ come Insieme Universo sarà necessario definire opportunamente uno Spazio di Probabilità definendo anche

• una Sigma Algebra 
• una Misura di Probabilità 

Definiamo la Misura di Probabilità opportunamente $ P_{\Theta} : \Theta \rightarrow \mathbb{R} $

A questo punto sarà possibile definire
$$ E_{\Theta}[X(t_{i})] = \int_{\Theta} X(t_{i}, \theta) dP_{\Theta}(\theta) $$

Media Temporale

Consideriamo la Evoluzione Temporale di una Realizzazione $ \left \{ X(t, \theta_{j}) \right \}_{t \in (0,T)} $

In questo caso non sarà necessario definire niente in particolare, basterò utilizzare concetti classici noti per calcolare

$$ \bar X_{\theta_{j}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, \theta_{j}) dt $$