Introduzione alle LENR - Stima dell'Eta del Sole da parte di Helmholtz

Introduzione 

Nel 1850 Helmholtz fu uno dei primi ad occuparsi del bilancio energetico delle Stelle al fine di stimare l'età delle stesse. 

Modello utilizzato 

Il Modello utilizzato allora si basava esclusivamente sulla Gravità di Newton. 

Si consideri una Proto-Stella della quale si voglia studiare Bilancio Energetico basandosi unicamente
su due concetti  

• la stima della Energia Potenziale di una Unità di Massa che viene catturata dalla Forza Gravitazionale della Proto-Stella e si venga quindi a trovare sulla superficie della stessa
  
• il Teorema del Viriale in ambito Astrofisico, al fine di determinare il contributo quantitativo dato alle altre Forme di Energia da questa Energia Potenziale 

Osservazione  Teorema del Viriale in Astrofisica In ambito Astrofisico vale il Teorema del Viriale per strutture di particelle Autogravitanti. $$ 2T + U = \frac{d^2I}{dt^2} $$ Con $ U $ Energia Potenziale Gravitazionale  $ T $ Energia Termica data dall'agitazione cinetica delle particelle $ T = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^2 $  $ I $ Momento di Inerzia  In condizioni di equilibrio abbiamo che $$ \frac{d^2 I}{dt^2} = 0 $$ e quindi dal Teorema del Viriale si arriva $$ 2T + U = 0 $$ Per cui $$ T = - \frac{1}{2} U $$ Quindi si può concludere che la metà dell'Energia Potenziale Gravitazionale contribuisce all'Energia Cinetica delle Particelle, l'altra metà viene irradiata.

Indichiamo quindi

• $ m $ Unità di Massa 
• $ M_{PS}(t) $ Massa della Protostella al tempo $ t $
• $ R_{PS}(t) $ Raggio della Protostella al tempo $ t $

Le grandezze in questione dipendono dal tempo dato che la Protostella sta attraversando un percorso di accrescimento dovuto al meccanismo di cattura gravitazionale, che quindi fa evolvere sia la sua Massa che il suo Raggio


Calcoliamo la Energia Potenziale Gravitazionale di questa Massa catturata, utilizzando la Forza Gravitazionale a cui essa è sottoposta 

\begin{align}
& F_{Grav}(t) = G \frac{M_{PS}(t) m}{R_{PS}^2(t)} \nonumber \\
& \Delta E(t) = - F_{Grav}(t) R_{Sun} = - G \frac{M_{PS}(t) m}{R_{PS}(t)} \nonumber \\
& \frac{\Delta E(t)}{m} = - G \frac{M_{PS}(t)}{R_{PS}(t)} \nonumber
\end{align}

Considerando il Sole, si riesce ad ottenere una stima abbastanza affidabile della Radiazione ovvero 

$ F = 1.96 \frac{\text{erg}}{\text{gm sec}} $

Stimando approssimativamente l’Energia Totale del Sole in questo modo e considerando costante 

il Rating della Radiazione nel tempo (compiendo così una grande approssimazione) si ottiene che il Sole avrebbe dovuto esaurire la sua capacità di radiazione dopo soli 30 Milioni di Anni (ovviamente non è importante il valore assoluto determinato ma solo l’Ordine di Grandezza) 

il che è contraddetto dalla presenza di diversi elementi nel Sistema Solare con una età di molto superiore, dell'ordine di Miliardi di Anni.