Norme e Disuguaglianza di Cauchy

Definizione 

In uno Spazio Euclideo si può semplicemente introdurre una Norma nel seguente modo 

$$ \left \lVert x \right \rVert = \sqrt{(x, x)}$$ 

Tale definizione soddisfa tutte le Proprietà che deve possedere una Norma, tra le quali anche la Disuguaglianza di Cauchy ovvero 

$$ |(x,y)| \le \left \lVert x \right \rVert \left \lVert y \right \rVert $$ 

Osservazione La Norma è una Generalizzazione del Concetto di Modulo del Vettore visto inizialmente quando li si trattava come elementi dello Spazio $ \mathbb{R}^3 $

Dimostrazione 

Calcoliamo $ \left \lVert \lambda x + y \right \rVert^2 $ con $ \lambda \in \mathbb{R} $ usando le Proprietà di Commutatività e Linearità del Prodotto Scalare e quindi 

$ \left \lVert \lambda x + y \right \rVert^2 = (\lambda x+y, \lambda x+y)^2 = \lambda^2 (x,x)^2 + 2 \lambda (x,y)  + (y,y)^2 = \lambda^2 \left \lVert x \right \rVert^2 + 2 \lambda (x,y) + \left \lVert y \right \rVert^2  $ 

A questo punto osserviamo che per le Proprietà della Norma 

$ \left \lVert \lambda x + y \right \rVert^2 \ge 0 $ 

e quindi 

$ \lambda^2 \left \lVert x \right \rVert^2 + 2 \lambda (x,y) + \left \lVert y \right \rVert^2 \ge 0 $

Immaginiamo che questa sia una Disequazione in $ \lambda $ e dato che essa deve essere verificata $ \forall \lambda $ questo significa che essa ha il $ \Delta \le 0 $ 

quindi si ottiene che 

$ 4 (x,y)^2 - 4 \left \lVert x \right \rVert^2 \left \lVert y \right \rVert^2 \le 0 $  

e quindi 

$ | (x,y) | \le \left \lVert x \right \rVert \left \lVert y \right \rVert $ 

Nel caso di $ \Delta = 0 $ abbiamo che
$ | (x,y) | = \left \lVert x \right \rVert \left \lVert y \right \rVert $ 

e la Soluzione per $ \lambda $ è data da
$$ \lambda = -\frac{(x,y)}{\left \lVert x \right \rVert^2} $$

Quindi sostituendo

\begin{align}
& \frac{(x,y)^2}{\left \lVert x \right \rVert^4} \left \lVert x \right \rVert^2 - 2 \frac{(x,y)}{\left \lVert x \right \rVert^2} (x,y) + \left \lVert y \right \rVert^2 = 0 \nonumber \\
& \frac{(x,y)^2}{\left \lVert x \right \rVert^2} - 2 \frac{(x,y)^2}{\left \lVert x \right \rVert^2} + \left \lVert y \right \rVert^2 = 0  \nonumber \\
& - \frac{(x,y)^2}{\left \lVert x \right \rVert^2} + \left \lVert y \right \rVert^2 = 0 \nonumber \\
& - \frac{\left \lVert x \right \rVert^2 \left \lVert y \right \rVert^2}{\left \lVert x \right \rVert^2 } + \left \lVert y \right \rVert^2 = 0 \nonumber
\end{align}

osservando così che l'Equazione risulta verificata