Basi di Fluidodinamica

Grandezze Interessanti 

Nell'ambito della Fluidodinamica si considerano grandezze Fisiche di particolare interesse, rappresentate da Campi Vettoriali e Scalari nello Spazio 3D con dipendenza dal tempo 

Alcune di queste grandezze sono 

• Campo di Velocità del Fluido (Campo Vettoriale)
  $ \vec u(\vec x, t) $
• Campo di Pressione del Fluido (Campo Scalare)
  $ P(\vec x, t) $
• Campo di Densità del Fluido (Campo Scalare)
  $ \rho(\vec x, t) $ 

Moto di una Singola Particella 

Consideriamo una Singola Particella del Fluido. 

In un dato istante essa occuperà una ben definita posizione per cui sarà univocamente determinata dal vettore $ (\vec x, t) $ rappresentabile anche come una curva parametrica, dipendente dal tempo, che indica la traiettoria della Particella stessa $ \vec x(t) $ 

Velocità 

La Velocità della Particella in un dato istante equivale a quella del Campo di Velocità del Fluido, in quella specifica posizione in quel momento, e quindi 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{x(t)}  = \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) $$ 

Lo spostamento che effettuerà la Particella in quell'istante, determinato dalla sua velocità istantanea, sarà quindi pari a 

$$ \delta \mathbf{x} = \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \delta t $$ 

Accelerazione 

L'Accelerazione Istantanea a cui è sottoposta la Particella è determinabile conoscendo il Campo di Velocità del Fluido. 

Essa sarà data dalla Derivata Totale di questo Campo rispetto al Tempo ed il risultato sarà un altro Campo Vettoriale 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) $$ 

Applicando la Chain Rule si passa alle Derivate Parziali ottenendo 

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} $$ 

Osservazione  Calcolo Accelerazione con Chain Rule Da notare che \begin{align} & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \frac{\partial \mathbf{x_{i}}}{\partial t} \nonumber \\ & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \mathbf{u_{i}}\nonumber \\ & \frac{d}{dt} \mathbf{u} (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \mathbf{u} (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)  \mathbf{u}  \nonumber \end{align} Ricordando che $ \mathbf{u} \cdot \nabla $ è un Operatore Differenziale ottenuta svolgendo il Prodotto Scalare tra il Campo Vettoriale e l'Operatore Differenziale $ \nabla $ nello Spazio Euclideo Tridimensionale $$ \mathbf{u} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^{3} u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} $$ che agisce su $ \mathbf{u} $ Campo di Velocità appunto

Si osserva quindi che l'accelerazione è data dalla somma di 2 componenti

• la componente $ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} $ che deriva dalla Variazione Locale nel Tempo del Campo di Velocità del Fluido
• la componente $ (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} $ dovuta allo spostamento della Particella in questione all'interno del Campo di Velocità, il quale presenta valori locali diversi appunto 

Variazione di Densità 

Considerando il Campo Scalare di Densità $ \rho(\mathbf{x}, t) $ si otterrà una Derivata Totale dello stesso rispetto al Tempo in modo analogo al caso precedente ovvero 

$$ \frac{d}{dt} \rho(\mathbf{x}, t) = \frac{\partial}{\partial t} \rho(\mathbf{x}, t) + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \rho(\mathbf{x}, t) $$ 

Osservazione  Calcolo Variazione di Densità con Chain Rule Da notare che \begin{align} & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \frac{\partial \mathbf{x_{i}}}{\partial t} \nonumber \\ & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial \mathbf{x_{i}}} \mathbf{u_{i}}\nonumber \\ & \frac{d}{dt} \rho (\mathbf{x}, t) = \frac{\partial \rho (\mathbf{x}, t)}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)  \rho  \nonumber \end{align} Ricordando che $ \mathbf{u} \cdot \nabla $ è l'Operatore Differenziale già definito in precedenza per il calcolo dell'accelerazione, ottenuto svolgendo il Prodotto Scalare tra il Campo Vettoriale e l'Operatore Differenziale $ \nabla $ nello Spazio Euclideo Tridimensionale $$ \mathbf{u} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^{3} u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} $$ che agisce su $ \rho $ Campo di Densità appunto

Appunto