[Ing-Fin] Bonds

Definizione 

Bonds sono Obbligazioni ovvero contratti teoricamente privi di rischio (teoricamente in quanto il Rischio di Credito esiste sempre) grazie ai quali si consegue un Profitto Finanziario per il fatto che ci si priva della Risorsa Capitale per un determinato periodo di tempo. 

In generale le informazioni rilevanti di un Bond sono 

• il Valore Nominale ovvero il Capitale pagato a scadenza 
• le informazioni sui Coupons ovvero sulle Cedole staccate dal Bond, in termini di cadenza dei pagamenti (semestrale, annuale, ...) ed entità dei pagamenti espressi come percentuale rispetto al valore nominale 
• gli Istanti di Tempo in cui avvengono i vari Cashflow 

Una prima classificazione dei Bonds può avvenire in funzione della presenza o meno di Coupons 

• ZCB (Zero Coupon Bonds) indicherà una categoria di Bonds che non staccano Cedole 
• CB (Coupon Bonds) indicherà quindi una categoria di Bonds che staccano Cedole 

In merito agli ZCB, essi potranno essere suddivisi sulla base degli Istanti di Tempo in cui avvengono Cashflows ovvero 

• in ZCB Spot avremo solo 2 istanti di tempo 
• $ t_1 $ Istante di Tempo di Sottoscrizione del Contratto e versamento del Capitale da parte dell'acquirente 
• $ t_2 $ Istante di Tempo in cui il Contratto scade e ripaga con il Valore Nominale
• in ZCB Forward avremo 3 istanti di tempo 
• $ t_0 $ Istante di Tempo di Sottoscrizione del Contratto, in cui non avviene alcun versamento 
• $ t_1 $ Istante di Tempo in cui avviene il versamento per l'acquisto 
• $ t_2 $ Istante di Tempo in cui il Bond ripaga 

ZCB Spot 

Consideriamo gli ZCB Spot ed indichiamoli come $ ZCB_{S}(t_1, t_2) $ 

In base a quanto detto sopra, il loro Cashflow del Portafoglio contenente il Bond sarà dato da 

$$ \left [ \left ( t_1, -p_1 \right ), \left ( t_2, +p_2 \right ) \right ] $$

Commento 

In $ t_1 $ si ha un Cashflow di segno negativo in quanto si sta Acquistando il Bond e quindi $ p_1 $ sarà il Prezzo del Bond in quell'istante di tempo. 

In $ t_2 $ si ha un Cashflow di segno positivo in quanto il Bond sta pagando al proprietario e quindi $ p_2 $ sarà il Valore Nominale. 

Dato che $ p_2 $ è fissato sul Contratto, e considereremo per semplicità pari a $ p_2 = 1 $, e lo stesso vale per $ t_2 $ Istante di Scadenza, in ogni istante $ t_1 < t_2 $ il Mercato forma il $ p_1 $ Prezzo di Acquisto dello ZCB Spot in questione, tramite la Legge della Domanda e dell'Offerta. 

Tale Prezzo fissa un relativo Tasso a seconda della Legge di Capitalizzazione che viene utilizzata. 

Yield Rate 

Nel caso della Capitalizzazione Esponenziale avremo infatti che 

$$
\begin{align}
& p_1 \exp(r \Delta t) = p_2 \nonumber \\
& r = \frac{\ln(p_2) - \ln(p_1)}{\Delta t} \nonumber \\
& r = - \frac{\ln(p_1)}{\Delta t} \nonumber
\end{align}
$$

Questo Tasso si chiama Yield Rate

Tasso Spot in Capitalizzazione Semplice 

Nel caso della Legge di Capitalizzazione Semplice si ha che 

$$
\begin{align}
& p_2 = (1 + i \Delta t) p_1 \nonumber \\
& i = \frac{p_2 - p_1}{p_1 \Delta t } \nonumber
\end{align}
$$

Questo Tasso si chiama Tasso Spot in Capitalizzazione Semplice