Nozioni Topologiche basilari

Raccogliamo in questo Post alcune delle nozioni Topologiche basilari per affrontare le questioni di Geometria Differenziale

Insieme Aperto 

Definizione 

Un generico Insieme $ U $ si dice Aperto se per ogni suo punto, sarà possibile discostarsi di un $ \epsilon $ rimanendo ancora all'interno dell'insieme ovvero 

$$ \forall p \in U, \exists \epsilon \in \mathbb{R}^{+} : \forall y \in \{y : d(x,y) < \epsilon \} \Rightarrow y \in U $$

Osservazione 

Tale definizione implica che sia stata definita una opportuna Distanza ovvero una funzione 

$$ d : U \times U \rightarrow \mathbb{R}^{+} $$ 

con tutte le proprietà di una Distanza 

Esempi 

Insieme $ (a,b) \in \mathbb{R} $ è un Insieme Aperto dato che rispetta evidentemente la definizione di cui sopra. 

Insieme $ [a,b] \in \mathbb{R} $ invece non è un Aperto in quanto posizionando sui bordi dell'insieme ovvero in $ a $ e $ b $ allora non esiste alcun $ \epsilon \in \mathbb{R}^{+} $ che soddisfi la definizione 

Si comprende quindi come il concetto di bordo sia importante per determinare 

se un Insieme è Aperto o meno. 

Insieme Compatto 

Definizione 

Un generico Insieme $ U $ esso si dice Compatto se dato un suo ricoprimento Aperto è possibile estrarre da esso un sottoricoprimento finito ovvero 

Prendendo la famiglia $ \{ U \}_{i \in I} $ come ricoprimento aperto abbiamo che 

$$ \bigcup_{i \in I} U_{i} \supseteq U \qquad U_{i} \text{ Aperto } \forall i \in I $$

sarà possibile determinare una sottofamiglia di aperti con un numero finito di elementi individuati dalla condizione $ i \in J $ tale da avere un altro ricoprimento 

$$ \bigcup_{i \in J} U_{i} \supseteq U $$