Manifold Topologico

Definizione di Manifold Topologico 

Dato uno Spazio Topologico (ovvero uno Spazio sul quale sia stata definita una Topologia e quindi siano stati definiti con chiarezza gli Aperti ed i Chiusi) definiamo le seguenti proprietà

Second Countable 

Definizione
Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Second Countable se la sua Topologia ammette una Base Numerabile. 

Questo significa che esiste una Collezione di Aperti di $ T $ così definita 

$$ U = \left \{ U_{i} \right \}_{i=1}^{\infty} $$ 

tale che $ \forall V \subset T $ Aperto sia esprimibile come Unione di Elementi della Collezione $ U $ ovvero 

$$ V = \bigcup_{i=1}^{k}U'_{i} \qquad U' \subset U $$

Proprietà

Ereditarietà
Ogni Sottospazio di uno Spazio Second Countable è anch'esso Second Countable.

Hausdorff Space 

Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Spazio di Hausdorff ovvero Spazio Separato
ovvero Spazio $ T_2 $ se 

Dati 2 punti distinti in questo spazio, esistono intorni di questi che non hanno elementi in comune 

Indicando con $ U(p) \subset T $ l'intorno di un punto $ p \in T $ 

(Concetto ben definito dato che $ T $ è uno Spazio Topologico) 

possiamo dire che 

$$ \forall p,q \in T, \exists U(p), U(q) \subset T \qquad \text{t. c.} \qquad U(p) \cap U(q) = \emptyset  $$ 

Proprietà

Ereditarietà
Ogni Sottospazio di uno Spazio di Hausdorff è anch'esso uno Spazio di Hausdorff. 

Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ 

Uno Spazio Topologico $ T $ si dice Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ se 

dato ogni suo punto è possibile costruire un omeomorfismo tra l'intorno di tale punto ed un Aperto di $ \mathbb{R}^{n} $ 

Ovvero se 

$$ \forall p \in T, \exists \phi : U(p) \rightarrow \mathbb{R}^{n} \text{ Omeomorfismo } $$ 

Manifold Topologico 

Uno Spazio Topologico $ T $ che sia 

• Second Countable 
• Hausdorff Space 
• Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ 

viene chiamato Manifold Topologico appunto

Esempi 

Generico Sottospazio di $ \mathbb{R}^{n} $ 

Consideriamo un generico $ U \subset \mathbb{R}^{n} $ e verifichiamo che esso è un Manifold Topologico. 

Anzitutto osserviamo che, dato che $ \mathbb{R}^{n} $ è Second Countable e di Hausdorff anche $ U $ avrà queste proprietà per via della ereditarietà delle stesse. 

Rimane quindi da costruire il $ \forall p \in U, \phi : U(p) \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ ma dato che
$ U $ è un sottospazio di $ \mathbb{R}^{n} $ banalmente esso sarà Localmente $ \mathbb{R}^{n} $ e quindi il Mapping in questione può essere la Identità (Mapping che manda ogni Elemento in se stesso) 

Osservazione  Non Necessità di Omeomorfismo Globale Da notare che la Definizione di Manifold Topologico non richiede che il $ T $ Spazio Topologico sia globalmente omeomorfo a $ \mathbb{R}^{n} $ ma solo localmente. Consideriamo un Rettangolo nello Spazio Euclideo $ E^2 $ che facciamo corrispondere a $ \mathbb{R}^2 $ Descriviamo analiticamente il Rettangolo in questione con le Disequazioni \begin{align} & 0 \le x \le a \nonumber \\ & 0 \le y \le b \nonumber \end{align} Questo Sottoinsieme di $ \mathbb{R}^{2} $ è compatto e quindi non è omeomorfo a $ \mathbb{R}^{2} $ (ricordiamo che Omeomorfismo preserva le Proprietà Topologiche come la Compattezza appunto) ma ogni intorno di ogni generico punto al suo intorno è omeomorfo a $ \mathbb{R}^{2} $ usando semplicemente il Mapping Identitario (quello che mappa ogni punto in se stesso) Le altre proprietà richieste per essere un Manifold Topologico sono come al solito ereditate appunto