Diffusione data Operatore Media

Definizione 

Consideriamo il caso di un Reticolo Discreto di passo $ h \in \mathbb{R} $ ovvero le coordinate del Reticolo sono identificate dalla Tupla $ (x_1, x_2, ..., x_n) \in \mathbb{R}^{n} $ con $ x_{i} = k_{i}h $ tale che $ k_{i} \in \mathbb{Z} \qquad \forall i=1,...,n $
Immaginiamo che la funzione 

$$ p(\mathbf{x}, t) \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, t \in \mathbb{R} $$

esprima la Probabilità che un Random Walker si trovi nella posizione $ \mathbf{x} $ del Reticolo 

al tempo $ t $

Immaginiamo che le transizioni avvengano in un intervallo temporale $ \tau \in \mathbb{R} $

Quindi possiamo definire la Dinamica in base alla quale evolve il Sistema definendo $ p(\mathbf{x}, t + \tau) $ in funzione di $ p(\mathbf{x}, t) $

Ipotizziamo che ogni salto sia equiprobabile e quindi 

$$ p(\mathbf{x}, t + \tau) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left ( p(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) + p(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) \right ) $$

L’evoluzione in questione è quindi data da una Media non pesata di tutte le possibili strade che in ogni momento il camminatore può prendere

A questo punto possiamo passare ad un punto di vista Operatoriale definiendo un Operatore che, agendo sulla Distribuzione di Probabilità in un dato istante, la trasforma passando all’istante successivo.

Per questa definizione possiamo utilizzare un accorgimento per renderla meno verbosa e più chiara, utilizzando $ \mathbf{y} $ come punto di arrivo del salto, il quale deve distare da quello di partenza un passo del Reticolo e quindi $ \left | \mathbf{x} - \mathbf{y} \right | = h $ 

Per cui l’operatore Media risulta così definito 

$$ M_{h}p(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{2n} \sum_{\mathbf{y} : \left | \mathbf{x} - \mathbf{y} \right | = h } p(\mathbf{y}, t) $$

e per fare in modo che esso generi una dinamica sarà sufficiente introdurre la evoluzione temporale nel seguente modo 

$$ p(\mathbf{x}, t + \tau) = M_{h}p(\mathbf{x}, t) $$

Osserviamo ora una Proprietà interessante di questo Operatore studiando il suo Sviluppo in Serie di Taylor nell’intorno di un generico punto, considerando una generica funzione $ f(x) $ indipendente dal tempo, per semplicità.  

$$\begin{align}
& M_{h}f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left ( f(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) + f(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) \right ) \nonumber \\

& f(\mathbf{x} + h \mathbf{e_{i}}) = f(\mathbf{x}) + \frac{\partial}{\partial x_{i}}f(\mathbf{x})h + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}f(\mathbf{x})h^2 + O(h^2) \nonumber \\

& f(\mathbf{x} - h \mathbf{e_{i}}) = f(\mathbf{x}) - \frac{\partial}{\partial x_{i}}f(\mathbf{x})h + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}f(\mathbf{x})h^2 + O(h^2) \nonumber \\

& M_{h}f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2n} \Delta f(\mathbf{x}) h^2 + O(h^2) \nonumber
\end{align}$$

Intendendo con $ \Delta $ Operatore di Laplace ovvero 

$$ \Delta = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2} $$

Osserviamo che per ogni Dimensione, abbiamo la Somma di due Termini, l'uno dato da un passo lungo una direzione e l'altro lungo la direzione opposta. 

Sviluppando in Serie di Taylor la Somma dei 2 Termini, osserviamo l'effetto che questa dinamica comporta a livello di derivata: le derivate dispari si elidono per via della simmetria del moto e rimangono solo quelle pari.

Quindi in definitiva si trova che 

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{M_{h} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x})}{h^2} = \frac{1}{2n} \Delta f(\mathbf{x}) $$

In questo modo si è dimostrata la stretta relazione che sussiste tra l’Operatore di Media e quello di Laplace che sappiamo originare una Dinamica Diffusiva appunto