Energia Potenziale di un Solido Cristallino Ionico

Calcolo Energia Potenziale di un Solido Cristallino Ionico  

Abstract 

Si vuole calcolare l'Energia Potenziale di un semplice solido cristallino ionico. 

FreeNotes - Chemical Energy of a Ionic Crystalline Solid arranged in a Linear Chain by Nicola Bernini

Italian Version

Struttura 
Consideriamo una Solido Cristallino come una catena di ioni positivi e negativi alternati, in quantità dell'ordine di un $ N_{A} \sim 10^{23} $ Numero di Avogadro. 

Forze in gioco 
Nel modello che si sta considerando, assumiamo che l'unica forza in gioco sia la Forza di Coulomb agente tra 2 cariche ovvero 
$$ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}^2} $$

con $ q_{i}, q_{j} $ valori delle cariche elettriche considerate e $ r_{i,j} $ distanza tra di esse. 

Osservazione 
L'assunzione in questione è ragionevole dato che si tratta della forza dominante in questo contesto. 

Osservazione 
Nella formulazione fornita osserviamo che $ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) > 0 $ quando $ q_{i}, q_{j} $ hanno lo stesso segno e quindi in quel caso si tratterà di una forza repulsiva mentre $ F(q_{i}, q_{j}, r_{i,j}) < 0 $ mentre quando $ q_{i}, q_{j} $ hanno segno opposto e si tratterà quindi di una forza attrattiva. 

Poniamo lo Zero del Potenziale nella situazione in cui ogni ione sia sufficientemente lontano dagli altri da potersi considerare non interagente.

Allontanare gli ioni più di questa distanza limite non modifica il grado di (non) interazione tra di essi, per cui poniamo in questa situazione lo Zero dell’Energia Potenziale.

Avvicinando gli ioni al di sotto di questa distanza limite, l’interazione coulombiana non sarà più trascurabile ed il Sistema evolverà verso uno stato più stabile: dato che sarà necessario Spendere Energia per riportare il Sistema nello Stato Iniziale di non interazione, la Energia Potenziale sta diminuendo e diventerà quindi negativa.

Il calo di Energia Potenziale sarà pari al Lavoro svolto dalla Forza di Coulomb che agisce sui vari ioni mentre si avvicinano.

La Forza di Coulomb è pari a 

$$ F = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}^2} $$ 

per cui l'Energia tra una qualsiasi coppia di ioni è pari a 

$$ E = \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i,j}} $$ 

Nel caso in cui le 2 cariche abbiano lo stesso segno, la Forza di Coulomb sarà repulsiva e quindi il contributo all'Energia Potenziale sarà positivo. 

Nel caso in cui le 2 cariche abbiano segno opposto, la Forza di Coulomb sarà attrattiva e quindi il contributo all'Energia Potenziale sarà negativo. 

Consideriamo ora il caso di un Solido Cristallino Ionico in cui sono presenti solo 2 categorie di ioni, l'una con carica positiva e l'altra con carica negativa, uguali in valore assoluto ovvero 

$$ q_1 = -q_2 $$ 

Consideriamo ora un Modello molto semplice di Cristallo Ionico: una catena lineare alternata 

delle 2 categorie di ioni. 

In questo modello avremo quindi 2 Parametri importanti 

• $ q = |q_1| = |q_2| $ Valore Assoluto della Carica di ogni Ione 
• $ d = r_{i,i+1} $ Distanza tra Ioni Primi Vicini della Catena Lineare 

Prendo uno ione a caso nella catena, l'Energia Potenziale dello stesso, per effetto dei suoi vicini, sarà pari a 

$$ E_{k} = \left ( -\sum_{i \in \mathbb{Z}} \frac{1}{2n+1} + \sum_{i \in \mathbb{Z}, i \neq 0} \frac{1}{2n} \right ) \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_{0}d} $$ 

Ricordiamo la Serie Notevole  

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = \ln(2) $$ 

Quindi la Sommatoria dell'Energia, considerata in una sola direzione, risulta con segni sfalsati di una posizione ovvero i termini con denominatore dispari hanno segno negativo anzichè positivo per cui, considerando anche la simmetria del procedere in entrambe le direzioni, abbiamo che l'Energia Potenziale di un qualsiasi ione della catena vale 

$$ E_{k} = -2 \ln(2) \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

A questo punto sarà possibile calcolare l'Energia Potenziale relativa ad una Mole di Ioni semplicemente utilizzando il $ N_A $ Numero di Avogadro e quindi 

$$ E = -2 \ln(2) \frac{N_A q^2}{4 \pi \epsilon_{0}d} $$